Сочинительные союзы соединяют одинаковые по значимости слова, фразы, однородные члены предложения или независимые предложения в одно сложносочиненное предложение.

К ним относятся союзы: «and – и», «but – но», «or – или», «as well as – так же как», «moreover – более того», «not only … but – не только… но» и другие.

Все сочинительные союзы можно разделить на 4 группы:

Соединительные.
Противительные.
Разделительные.
Причинно-следственные. 

Давайте рассмотрим каждую из этих групп по отдельности.

Соединительные союзы соединяют два слова или два простых предложения.

Примеры таких союзов: «and – и», «both … and – как … так и», «as well as – так же, как и», «not only … but also – не только … но и».
— She is smart and beautiful. – Она умная и красивая.
— He likes sports as well as music. – Ему нравится спорт также, как и музыка.
— She can both speak and write English. – Она может как говорить, так и писать по-английски.
— He neither wrote nor phoned. – Он ни звонил, ни писал.
— She is not only pretty, but also kind. – Она не только симпатичная, но и добрая.
Противительные союзы выражают противопоставление одной части предложения другой.
Примеры таких союзов: «but – но», «still – все же», «yet – однако», «whereas – в то время как», «while – тогда как», «nevertheless – тем не менее», и т.п.
— I will go, and you stay here. – Я пойду, а вы оставайтесь здесь.
— He is short but strong. – Он невысокий, но сильный.
— He says that he saw nothing, however, I don’t believe. – Он говорит, что он ничего не видел, однако, я не верю.
— Nevertheless, I want to go there. – Тем не менее, я хочу туда пойти.
— A story that is strange yet true. – История, которая является странной, однако правдивой.
Разделительные союзы используются для предоставления двух вариантов чего-либо, иногда в качестве выбора между чем-либо.
Примеры таких союзов: «or – или», «either … or – или … или», «neither … nor – ни … ни», «otherwise – в противном случае», «or else – а то (иначе)».
— Would you like meat or fish? – Хотите мясо или рыбу?
— You either go with me or with him. – Ты идешь или со мной, или с ним.
— I’d like you to come, or else I’ll feel lonely. – Я хочу, чтобы ты пришла, а то я буду чувствовать себя одиноким.
— You must pay the fine, otherwise you will be punished. – Вы должны заплатить штраф, в противном случае вы будете наказаны.
Причинно-следственные союзы указывают причину тех или иных действий.
Примеры таких союзов: «for (since) – так как»,  «so – чтобы».
— I cannot tell whether she is old or young for I have never seen her. – Я не могу сказать она старая или молодая, так как я никогда не видел ее.
— Hand me that screwdriver so I could fix this.– Передай-ка мне ту отвертку чтобы я мог починить это.